Question

如圖，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E為DB的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥BC；
（Ⅱ）若點F是線段BC上的動點，設(shè)平面PFE與平面PBE所成的平面角大小為θ，當(dāng)θ在[0，

π

4

]內(nèi)取值時，求直線PF與平面DBC所成的角的范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意需要取BC的中點O，連接EO、AO，則由條件證出EO⊥BC和BC⊥AO，根據(jù)線面垂直的判定證出BC⊥面AEO，即證出BC⊥AE；
（II）連接PE、EF，根據(jù)面BCD⊥面ABC和DC⊥BC證出DC⊥面ABC，由中位線和條件證出四邊形APEO為矩形，根據(jù)面BCD⊥面ABC和正△ABC證出AO⊥面BCD，即∠PFE為PF與面DBC所成的角，再由PE⊥面BCD證出∠BEF為面PBE與面PFE所成的角，根據(jù)θ的范圍和條件求出所求的線面角范圍．

解答：證明：（I）取BC的中點O，連接EO，AO，EO∥DC
∵直角△BCD中，DC=BC，∴DC⊥BC，∴EO⊥BC
∵△ABC為等邊三角形，∴BC⊥AO，
∵EO∩AO=O，∴BC⊥面AEO，
∴BC⊥AE（4分）

（II）連接PE，連接EF，
∵面BCD⊥面ABC，DC⊥BC，∴DC⊥面ABC，
∵EO∥DC，EO=

1

2

DC
∴EO∥PA，EO=PA，故四邊形APEO為矩形（5分）
∵面BCD⊥面ABC，AO⊥面BCD，∴PE⊥面BCD，
則∠PFE為PF與面DBC所成的角，（7分）
又∵PE⊥面BCD，∴PE⊥BE，PE⊥EF，
∴∠BEF為面PBE與面PFE所成的角，
即∠BEF=θ∈[0，

π

4

]，（9分）
此時點F即在線段BO上移動，設(shè)DC=BC=2PA=2，
∴EF∈[1，

2

]，tan∠PFE=

PE

EF

=

3

EF

，
∴

3

EF

∈[

3 2

，

3

]
∴直線PF與平面DBC所成的角的范圍為[arctan

6

2

，

π

3

]．（12分）

點評：本題是關(guān)于線線、線面和面面垂直與線面角、二面角的綜合題，利用垂直的判定（性質(zhì)）定理，實現(xiàn)線線、線面和面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，注意定理中的條件；并且作和證明線面角、二面角時注意利用已知的垂直關(guān)系來求作出輔助線，考查了推理論證和邏輯思維能力．