Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)，下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）=tanx（x≠kπ+

π

2

，k∈Z）是單函數(shù)；
②指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是單函數(shù)；
③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．
上述四個(gè)結(jié)論中正確的有

②③④

．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析：由題意單函數(shù)的實(shí)質(zhì)是一對(duì)一的映射，而單調(diào)的函數(shù)也是一對(duì)一的映射，據(jù)此可逐個(gè)判斷．

解答：解：①函數(shù)f（x）=tanx（x≠kπ+

π

2

，k∈Z）不是單函數(shù)，例如f（

π

6

）=f（

7π

6

），顯然不會(huì)有

π

6

和

7π

6

相等，故為假命題；
②指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是單函數(shù)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是實(shí)數(shù)上的單調(diào)函數(shù)，也是一一映射函數(shù)，故為真命題；
③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）為真，
可用反證法證明：假設(shè)f（x₁）=f（x₂），則按定義應(yīng)有x₁=x₂，與已知中的x₁≠x₂矛盾；
④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)為真，因?yàn)閱魏瘮?shù)的實(shí)質(zhì)是一對(duì)一的映射，而單調(diào)的函數(shù)也是，故為真．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題為新定義，準(zhǔn)確理解單函數(shù)并把它跟已知函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．