Question

1．已知拋物線L的頂點在原點，對稱軸為x軸，圓M：x²+y²-2x-4y=0的圓心M和A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點均在L上，若MA與MB的斜率存在且傾斜角互補，則直線AB的斜率是（　�。�

• A． -1
• B． 1
• C． -4
• D． 4

Answer 1

分析 求出拋物線的方程，利用因為MA與MB的斜率存在且傾斜角互補，所以k_MA=-k_MB，即可求出直線AB的斜率．

解答 解：依題意，可設(shè)拋物線的方程為y²=2px，則
因為圓點M（1，2）在拋物線上，所以2²=2p×1⇒p=2，故拋物線的方程是y²=4x；
又因為MA與MB的斜率存在且傾斜角互補，所以k_MA=-k_MB，即$\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}-1}}=-\frac{{{y_2}-2}}{{{x_2}-1}}$．
又因為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）均在拋物線上，所以${x_1}=\frac{y_1^2}{4}$，${x_2}=\frac{y_2^2}{4}$，
從而有$\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{4}-1}}=-\frac{{{y_2}-2}}{{\frac{y_2^2}{4}-1}}⇒\frac{4}{{{y_1}+2}}=-\frac{4}{{{y_2}+2}}⇒{y_1}+{y_2}=-4$，
直線AB的斜率${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}=-1$．
故選：A．

點評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．