Question

8．若函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（$\frac{3π}{4}$，π）上單調(diào)遞增，則ω的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由條件利用兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得ω的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）=2sin[（ωx+φ）+$\frac{π}{3}$]（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）為偶函數(shù)，
∴φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，故y=2sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=2cosωx．
根據(jù)y=2cosωx在區(qū)間（$\frac{3π}{4}$，π）上單調(diào)遞增，∴ω•$\frac{3π}{4}$≥π，且ω•π≤2π．
求得$\frac{4}{3}$≤ω≤π，則ω的最小值為$\frac{4}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．