Question

已知二次函數f（x）=x²-16x+p+3．
（1）若函數在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數p的取值范圍；
（2）問是否存在常數q（q≥0），當x∈[q，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-q．（注：區(qū)間[a，b]（a＜b）的長度為b-a）．

Answer 1

（1）∵二次函數f（x）=x²-16x+p+3的對稱軸是x=8，
∴函數f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調遞減，
則函數f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點須滿足f（-1）•f（1）≤0．
即（1+16+p+3）（1-16+p+3）≤0，解得-20≤p≤12．
（2）假設存在常數q（q≥0）滿足題意，分三種情況求
①當

q＜8 8-q≥10-8 q≥0

時，即0≤q≤6時，
當x=8時，取到最小值f（8）；當x=q時，取到最大值f（q），
∴f（x）的值域為：[f（8），f（q）]，即[p-61，q²-16q+p+3]．
∴區(qū)間長度為q²-16q+p+3-（p-61）=q²-16q+64=12-q．
∴q²-15q+52=0，∴q=

15± 17

2

，經檢驗q=

15+ 17

2

不合題意，舍去，故q=

15- 17

2

．
②當

q＜8 8-q＜10-8 q≥0

時，即6≤q＜8時，
當x=8時，取到最小值f（8）；當x=10時，取到最大值f（10），
∴f（x）的值域為：[f（8），f（10）]，即[p-61，p-57]
∴區(qū)間長度為p-57-（p-61）=4=12-q，∴q=8．經檢驗q=8不合題意，舍去．
③當q≥8時，函數f（x）在[q，10]上單調遞增，
∴f（x）的值域為：[f（q），f（10）]，即[q²-16q+p+3，p-57]．
∴區(qū)間長度為p-57-（q²-16q+p+3）=-q²-16q-60=12-q，
∴q²-17q+72=0，∴q=8或q=9．經檢驗q=8或q=9滿足題意．
綜上知，存在常數q=8或q=9，q=

15- 17

2

當x∈[q，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-q．