Question

如圖，三棱柱ADF-BCH中，側(cè)面ABCD是菱形，F(xiàn)A=FD，∠BAD=60°，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段FC上．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面EFB；
（Ⅱ）若Q是FC的中點(diǎn)，求證：FA∥平面BDQ
（Ⅲ）若V_F-BCDE=2V_Q-ABCD，試求

CF

CQ

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定證明，關(guān)鍵是證明AD⊥FE，AD⊥BE；
（Ⅱ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OQ，利用三角形的中位線定理證明OQ∥FA，即可證明FA∥平面BDQ
（Ⅲ）利用體積關(guān)系可得高的關(guān)系，即可求

CF

CQ

的值．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)A=FD，所以AD⊥FE
因?yàn)閭?cè)面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以AB=BD，
又因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以AD⊥BE，
因?yàn)镕E∩BE=E，所以AD⊥平面EFB…..（4分）
（Ⅱ）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OQ．
因?yàn)镺是AC中點(diǎn)，Q是FC的中點(diǎn)，
所以O(shè)Q為△FAC的中位線，
所以O(shè)Q∥FA，
因?yàn)镕A?平面BDQ，OQ?平面BDQ，
所以FA∥平面BDQ…．（8分）
（Ⅲ）解：設(shè)四棱錐F-BCDE，Q-ABCD的高分別為h₁，h₂，
所以V_F-BCDE=

1

3

SBCDEh1，VQ-ABCD=

1

3

SABCDh2
因?yàn)閂_F-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面積SBCDE=

3

4

SABCD
所以

h1

h2

=

8

3

，
因?yàn)?span id="obc5yyt" class="MathJye">

h1

h2

=

CF

CQ

，
所以

CF

CQ

=

8

3

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定，屬于中檔題．