Question

已知(

x

-

2

x2

)n（n∈N^*）的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1．
（1）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；     
（2）求展開式中含x

3

2

的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求出第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)已知條件列出方程，求出n的值，將n的值代入二項(xiàng)式，給二項(xiàng)式中的x賦值1，求出展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．
（2）令二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)中的x的指數(shù)為

3

2

，求出r的值，將r的值代入通項(xiàng)求出展開式中含x

3

2

的項(xiàng)．

解答：解：由題意知，展開式的通項(xiàng)為
Tr+1=

C

r n

(-2)rx

n-5r

2

則第五項(xiàng)系數(shù)為C_n⁴•（-2）⁴，第三項(xiàng)的系數(shù)為C_n²•（-2）²
則有

16 C 4 n

4 C 2 n

=

10

1

，化簡(jiǎn)，得n²-5n-24=0
解得n=8或n=-3（舍去）        
（1）令x=1，得各項(xiàng)系數(shù)的和為（1-2）⁸=1    
（2）令

8-r

2

-2r=

3

2

，則r=1
故展開式中含x

3

2

的項(xiàng)為T2=-16x

3

2

點(diǎn)評(píng)：求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題一般借助的工具是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；求二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和問題，一般通過觀察，通過賦值的方法來解決．