已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin2θ=2

（1）證明：動點P的軌跡Q是雙曲線；

（2）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點．試問x軸上是否存在定點C，使為常數(shù)，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由．

解: （1）依題意，由余弦定理得：

,                           ……2分

即即

　　

．

,即．　　          …………4分

（當動點與兩定點共線時也符合上述結(jié)論）

動點的軌跡為以為焦點,實軸長為的雙曲線．

所以，軌跡Q的方程為．                               …………6分

（2）假設(shè)存在定點,使為常數(shù)．

（1）當直線 不與軸垂直時，

設(shè)直線的方程為,代入整理得:

．                              …………7分

由題意知，．

設(shè),,則,．        …………8分

于是，            …………9分

．                      …………11分

要使是與無關(guān)的常數(shù)，當且僅當，此時．   …12分

（2）當直線 與軸垂直時，可得點,，

當時，．                        …13分

故在軸上存在定點,使為常數(shù)．                  …………14分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年福州質(zhì)檢二）（12分）

已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：∠APB=2,且|PA||PB|sin2θ=2，

（Ⅰ）求證：動點P的軌跡Q是雙曲線；

（Ⅱ）過點B的直線與軌跡Q交于兩點M，N.試問軸上是否存在定點C，使為常數(shù)，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年平遙中學(xué)） (12分)  已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin2θ=2

（1）求動點P的軌跡Q的方程；

（2）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點M，N。試問x軸上是否存在定點C，使?為常數(shù)，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年平遙中學(xué)） (12分) 已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin2θ=2

（1）求動點P的軌跡Q的方程；

（2）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點M，N。試問x軸上是否存在定點C，使?為常數(shù)，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年平遙中學(xué)） (12分) 已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin2θ=2

（1）求動點P的軌跡Q的方程；

（2）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點M，N。試問x軸上是否存在定點C，使?為常數(shù)，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：,且

   （Ⅰ）求動點P的軌跡Q的方程；

   （Ⅱ）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點M，N。試問x軸上是否存在定點C，使 為常數(shù)，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由。

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