Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=

ax+1，x≤0 log2x，x＞0

，則下列關(guān)于函數(shù)y=f（f（x））+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是（　　）

A．當(dāng)a＞0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

B．當(dāng)a＞0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)

C．無論a為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)

D．無論a為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為分段函數(shù)，函數(shù)y=f（f（x））+1為復(fù)合函數(shù)，故需要分類討論，確定函數(shù)y=f（f（x））+1的解析式，從而可得函數(shù)y=f（f（x））+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

解答：解：分四種情況討論．
（1）x＞1時(shí)，log₂x＞0，∴y=f（f（x））+1=log₂（log₂x）+1，此時(shí)的零點(diǎn)為

2

（2）0＜x＜1時(shí)，log₂x＜0，∴y=f（f（x））+1=alog₂x+1，則a＞0時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，a＜0時(shí)，沒有零點(diǎn)，
（3）若x＜0，ax+1≤0時(shí)，y=f（f（x））+1=a²x+a+1，則a＞0時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，a＜0時(shí)，沒有零點(diǎn)，
（4）若x＜0，ax+1＞0時(shí)，y=f（f（x））+1=log₂（ax+1）+1，則a＞0時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，a＜0時(shí)，沒有零點(diǎn)，
綜上可知，當(dāng)a＞0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分類討論確定函數(shù)y=f（f（x））+1的解析式．