Question

（2009•上海模擬）定義區(qū)間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）若關(guān)于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為

6

，求實數(shù)a的值；
（2）已知關(guān)于x的不等式sinxcosx+

3

cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過

π

3

，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）已知關(guān)于x的不等式組

7 x+1 ＞1  log2x+log2(tx+3t)＜2

的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對a等于0和不等于0分開討論，再根據(jù)一元二次不等式的解集由開口方向和對應(yīng)方程的根二者決定即可求出實數(shù)a的值；
（2）先對原不等式進行化簡，把問題轉(zhuǎn)化為“f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]”，再根據(jù)函數(shù)f（x）的最小正周期為π，[0，π]的長度恰為函數(shù)的一個正周期，結(jié)合所問問題即可得到結(jié)論．
（3）先求出不等式

7

x+1

＞1的解集，根據(jù)其結(jié)論以及不等式組

7 x+1 ＞1  log2x+log2(tx+3t)＜2

的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6把問題轉(zhuǎn)化為不等式組

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，當x∈（0，6）時，恒成立；再分別求出對應(yīng)的實數(shù)t的取值范圍即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）a=0時不合題意；
a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設(shè)為x₁、x₂，
則x1+x2=

6

a

，x1x2=-

3

2a

，
由題意知6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

36

a2

+

6

a

，
解得a=-2或a=3（舍），所以a=-2．
（2）因為sinxcosx+

3

cos2x+b
=

1

2

sin2x+

3

2

(1+cos2x)+b=sin(2x+

π

3

)+

3

2

+b，
設(shè)f(x)=sin(2x+

π

3

)，原不等式等價于“f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]”，
因為函數(shù)f（x）的最小正周期為π，[0，π]的長度恰為函數(shù)的一個正周期，
所以當-

3

2

-b＜

1

2

時，f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過

π

3

，
即b的取值范圍為(-

1+ 3

2

，+∞)．
（3）先解不等式

7

x+1

＞1，整理得

-x+6

x+1

＞0，
即（x+1）（x-6）＜0
所以不等式

7

x+1

＞1的解集A=（-1，6）
設(shè)不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜2的解集為B，不等式組的解集為A∩B
不等式log₂x+log₂（tx+3t）＞2等價于

x＞0 tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

所以B⊆（0，+∞），A∩B⊆（0，6），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6，
所以不等式組

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，當x∈（0，6）時，恒成立
當x∈（0，6）時，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0
當x∈（0，6）時，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+3x

恒成立
當x∈（0，6）時，

4

x2+3x

的取值范圍為(

2

27

，+∞)，所以實數(shù)t≤

2

27

綜上所述，t的取值范圍為(0，

2

27

]

點評：本題主要考查不等式的解法．其中第一問涉及到一元二次不等式的解法，一元二次不等式的解集由開口方向和對應(yīng)方程的根二者決定．開口向上大于0的解集在兩根的兩邊，小于0的解集在兩根中間；開口向下大于0的解集在兩根的中間，小于0的解集在兩根兩邊．