Question

（2013•�？诙�模）設函數(shù)f（x）=ax²+cosx
（Ⅰ）證明：a≥

1

2

時，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）證明：4sinx+2xlnx-3x²-1≤0恒成立．

Answer 1

分析：（I）求導數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax²+cosx的導數(shù)在在[0，+∞）上恒大于等于0，可得f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
（II）要證4sinx+2xlnx-3x²-1≤0，只需證-2xlnx+3x²+1≥4sinx，即x(-2lnx+3x+

1

x

)≥4sinx．構(gòu)造函數(shù)h(x)=-2lnx+3x+

1

x

，求導函數(shù)可得x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當x∈[1，+∞）時，h'（x）≥0，h（x）單調(diào)遞增，求出h（x）最小值，結(jié)合（I）的結(jié)論即可得證．

解答：證明：（Ⅰ）g（x）=f'（x）=2ax-sinx，則g（0）=0，g'（x）=2a-cosx，（1分）
∵a≥

1

2

，-1≤cosx≤1，
∴g'（x）=2a-cosx≥1-cosx≥1-1=0．
∴g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增                         （3分）
∴g_min（x）=g（0）=0，
即f'（x）≥0，（5分）
從而f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；（6分）
（Ⅱ）證明：要證4sinx+2xlnx-3x²-1≤0，
只需證-2xlnx+3x²+1≥4sinx，即x(-2lnx+3x+

1

x

)≥4sinx，證明如下：
設h(x)=-2lnx+3x+

1

x

，則h′(x)=-

2

x

+3-

1

x2

=

3x2-2x-1

x2

=

(3x+1)(x-1)

x2

，（8分）
已知當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當x∈[1，+∞）時，h'（x）≥0，h（x）單調(diào)遞增．
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值為h（1）=4，即h(x)=-2lnx+3x+

1

x

≥4，（10分）
又由（Ⅰ），當a=

1

2

且x＞0時，x＞sinx，
∴x(-2lnx+3x+

1

x

)≥4sinx，即不等式4sinx+2xlnx-3x²-1≤0恒成立．（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題時構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．