Question

若f（x）是定義在（-4，4）上的奇函數(shù)，且在（-4，0]上為減函數(shù)，則不等式f（x-2）+f（4+x）≤0的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運(yùn)用奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，可得奇函數(shù)f（x）在（-4，4）上為減函數(shù)，不等式f（x-2）+f（4+x）≤0即為
f（x-2）≤-f（x+4）=f（-x-4），則

-4＜x-2＜4 -4＜-x-4＜4 x-2≥-x-4

，分別解出它們，再求交集即可．

解答： 解：f（x）是定義在（-4，4）上的奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），f（0）=0，
在（-4，0]上為減函數(shù)，
則有f（x）在[0，4）上也為減函數(shù)，
則f（x）在（-4，4）上為減函數(shù)．
不等式f（x-2）+f（4+x）≤0即為
f（x-2）≤-f（x+4）=f（-x-4），
則

-4＜x-2＜4 -4＜-x-4＜4 x-2≥-x-4

，即

-2＜x＜6 -8＜x＜0 x≥-1

，
解得，-1≤x＜0．
則解集為[-1，0）．
故答案為：[-1，0）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，注意等價(jià)變形，特別是定義域不能忽視，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．