Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos²

θ

2

+cosxsinθ-sinx（0＜θ＜π），在x=π處取最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知a=1，b=

2

，f（A）=

3

2

，求角C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式中第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，由函數(shù)在x=π處取最小值，把x=π代入到化簡(jiǎn)后的式子中并令f（x）等于-1，得到sinθ的值，然后利用θ的范圍及特殊角的三角函數(shù)值即可求出θ的度數(shù)；
（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化簡(jiǎn)可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于

3

2

，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根據(jù)B的范圍和特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出C的度數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinx

1+cosθ

2

+cosxsinθ-sinx
=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ-sinx
=sin（x+θ）．
因?yàn)椤�f（x）在x=π時(shí)取最小值，
所以　sin（π+θ）=-1，
故　sinθ=1．
又　0＜θ＜π，所以θ=

π

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
因?yàn)閒（A）=cosA=

3

2

，
且A為△ABC的角，
所以A=

π

6

．
由正弦定理得　sinB=

bsinA

a

=

2

2

，
又b＞a，
所以　B=

π

4

時(shí)，C=π-A-B=π-

π

6

-

π

4

=

7π

12

，
當(dāng)B=

3π

4

時(shí)，C=π-A-B=π-

π

6

-

3π

4

=

π

12

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的直正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，是一道多知識(shí)的綜合題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意C的度數(shù)有兩個(gè)解．