Question

（2009•昆明模擬）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB+bcosA=2ctanC
（I）求tan（A+B）的值；
（II）若cosA=

3

5

，求tanB的值．

Answer 1

分析：（I）求tan（A+B）的值；
（II）由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，進(jìn)而確定出tanA的值，由tanB=tan[（A+B）-A]，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：（I）∵acosB+bcosA=2ctanC，
∴由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCtanC，
∴sin（A+B）=2sinCtanC，
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B），
∴tan（A+B）=-

1

2

；
（II）由cosA=

3

5

，可得sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∴tanA=

4

3

，
故tanB=tan[（A+B）-A]=

tan(A+B)-tanA

1+tan(A+B)tanA

=

- 1 2 - 4 3

1+ 4 3 ×(- 1 2 )

=-

11

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，正弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．