Question

如圖、橢圓的一個焦點是F(1，0)，O為坐標原點．

(Ⅰ)已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；

(Ⅱ)設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點．若直線l繞點F任意轉動，值有|OA|²＋|OB|²|AB|²，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)設M，N為短軸的兩個三等分點， 　　因為△MNF為正三角形， 　　所以， 　　即1＝ 　　因此，橢圓方程為 　　(Ⅱ)設 　　(ⅰ)當直線AB與x軸重合時， 　　 　　(ⅱ)當直線AB不與x軸重合時， 　　設直線AB的方程為： 　　整理得 　　所以 　　因為恒有，所以AOB恒為鈍角． 　　即恒成立． 　　 　　 　　又a2＋b2m2＞0，所以－m2a2b2＋b2－a2b2＋a2＜0對mR恒成立， 　　即a2b2m2＞a2－a2b2＋b2對mR恒成立． 　　當mR時，a2b2m2最小值為0，所以a2－a2b2＋b2＜0． 　　a2＜a2b2－b2，a2＜(a2－1)b2＝b4， 　　因為a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2－a－1＞0， 　　解得a＞或a＜(舍去)，即a＞， 　　綜合(ⅰ)(ⅱ)，a的取值范圍為(，＋)． 　　解法二： 　　(Ⅰ)同解法一， 　　(Ⅱ)解：(ⅰ)當直線l垂直于x軸時， 　　x＝1代入＝1． 　　因為恒有|OA|2＋|OB|2＜|AB|2，2(1＋yA2)＜4yA2，yA2＞1，即＞1， 　　解得a＞或a＜(舍去)，即a＞． 　　(ⅱ)當直線l不垂直于x軸時，設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 　　設直線AB的方程為y＝k(x－1)代入 　　得(b2＋a2k2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0， 　　故x1＋x2＝ 　　因為恒有|OA|2＋|OB|2＜|AB|2， 　　所以x21＋y21＋x22＋y22＜(x2－x1)2＋(y2－y1)2， 　　得x1x2＋y1y2＜0恒成立． 　　x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2 　�。�(1＋k2)． 　　由題意得(a2－a2b2＋b2)k2－a2b2＜0對kR恒成立． 　　①當a2－a2b2＋b2＞0時，不合題意； 　�、诋�a2－a2b2＋b2＝0時，a＝； 　�、郛�a2－a2b2＋b2＜0時，a2－a2(a2－1)＋(a2－1)＜0，a4－3a2＋1＞0， 　　解得a2＞或a2＞(舍去)，a＞，因此a． 　　綜合(ⅰ)(ⅱ)，a的取值范圍為(，＋)． 　　本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力．滿分12分．