Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D是BC的中點(diǎn)，P是CC₁的中點(diǎn)．求證：
（1）A₁B∥平面AC₁D；
（2）B₁P⊥平面AC₁D．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接OD，根據(jù)OD是△A₁CB的中位線可得OD∥A₁B，又A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D，從而證得
A₁B∥平面AC₁D．
（2）由（1）知，∴△CC₁D≌△C₁B₁P，故∠CDC₁=∠C₁PB₁，B₁P⊥C₁D．再由AD⊥平面BCC₁B₁，可得AD⊥B₁P，從而證得
B₁P⊥平面AC₁D．

解答：證明：（1）連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接OD，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，∴側(cè)面AA₁C₁C是正方形，
∴點(diǎn)O是AC₁的中點(diǎn)，又點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，故OD是△A₁CB的中位線．
∴OD∥A₁B，又A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D． …（7分）
（2）由（1）知，側(cè)面BCC₁B₁是正方形，又D、P分別為BC、CC₁的中點(diǎn)，∴△CC₁D≌△C₁B₁P，
∴∠CDC₁=∠C₁PB₁，∴B₁P⊥C₁D，…（9分）
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，又側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABC，且側(cè)面BCC₁B₁∩底面ABC=BC，
AD?底面ABC，∴AD⊥平面BCC₁B₁，…（12分）
又B₁P?平面BCC₁B₁，∴AD⊥B₁P，又AD∩C₁D=D，∴B₁P⊥平面AC₁D．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，直線和平面平行的判定定理以及直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用求，屬于中檔題．