Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-ax+a（a∈R）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，證明：當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2(

1

x1

-1)．

Answer 1

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），對(duì)a分類(lèi)討論即可得出其單調(diào)性；
（II）通過(guò)對(duì)a分類(lèi)討論，得到當(dāng)a=2，滿足條件且lnx≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”）．利用此結(jié)論即可證明．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)得f′（x）=

2-ax

x

，x＞0．
若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；
若a＞0，當(dāng)x∈（0，

2

a

）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（

2

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，
又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．
若a＞2，當(dāng)x∈（

2

a

，1）時(shí)，f（x）遞減，f（x）＞f（1）=0，不合題意．
若0＜a＜2，當(dāng)x∈（1，

2

a

）時(shí)，f（x）遞增，f（x）＞f（1）=0，不合題意．
若a=2，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
f（x）≤f（1）=0，合題意．
故a=2，且lnx≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”）．
當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，f（x₂）-f（x₁）=2ln

x2

x1

-2（x₂-x₁）+2
＜2（x

x2

x1

-1）-2（x₂-x₁）+2
=2（

1

x1

-1）（x₂-x₁），
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2（1

1

x1

-1）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．