例1．在△ABC內(nèi)，求一點P，使
AP2
+
BP2
+
CP2
最�。�
分析：根據(jù)已知條件，可構(gòu)設(shè)兩個已知的基本向量
CA
=
a
，
CB
=
b
，再把AP2+BP2+CP2表示成關(guān)于變化向量
CP
=
x
的函數(shù)，最后，求出該函數(shù)的最小值．
解答：解：如圖，設(shè)
CA
=
a
，
CB
=
b
，
CP
=
x
，則
AP
=
x
-
a
，
BP
=
x
-
b
，∴AP2+BP2+CP2=|
x
-
a
|2+|
x
-
b
|2+
x
2=3
x
2-2（
a
+
b
）•
x
+
a
2+
b
2
=3[
x
-
1
3
（
a
+
b
）]2+
a
2+
b
2-
1
3
（
a
+
b
）2
根據(jù)向量運算的意義，知
x
=
1
3
（
a
+
b
）時，AP2+BP2+CP2有最小值．設(shè)M為AB的中點，易知
a
+
b
=2
CM
，當(dāng)
x
=
1
3
（
a
+
b
）時，
CP
=
2
3
CM
，也即P為△ABC的重心時，AP2+BP2+CP2的值最�。�
點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算．屬中檔題．
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