Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），左頂點(diǎn)為．
（1）求雙曲線C的方程
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A（0，-1），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，依題意可知a和c，進(jìn)而根據(jù)a²+b²=c²求得b，則雙曲線方程可得．
（2）把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，利用判別式大于0求得m和k的不等式關(guān)系，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為B（x，y）．根據(jù)韋達(dá)定理表示出x和y，根據(jù)AB⊥MN，可知AB的斜率為-，進(jìn)而求得k和m的關(guān)系，最后綜合可求得m的范圍．
解答：解：（I）設(shè)雙曲線方程為
由已知得
故雙曲線C的方程為．
（II）聯(lián)立
整理得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0．
∵直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴
可得m²＞3k²-1．①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為B（x，y）．


整理得3k²=4m+1．②
將②代入①，得m²-4m＞0，∴m＜0或m＞4．
又3k²=4m+1＞0（k≠0），即m＞-．
∴m的取值范圍是（-，0）∪（4，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．