精英家教網(wǎng)如圖,已知直線L:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、E.
(1)若拋物線x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;
(2)若N(
a2+1
2
,0)
為x軸上一點(diǎn),求證:
AN
NE
分析:(1)易知 b=
3
,c=1,結(jié)合a2=b2+c2可求橢圓的方程
(2)要證當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD相交于一定點(diǎn).先找m去特殊值(m=0)時(shí)AE與BD相交FK中點(diǎn) N(
1+a2
2
,0)
故猜想:當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn) N(
1+a2
2
,0)
然后只要證明AN,EN 的斜率相等,從而可得A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線即可
解答:解:由題意,已知直線L:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F,故有c=1
(1)拋物線x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為(0,
3
)故橢圓C的上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,
3
),可得b=
3
,由橢圓的性質(zhì)得a=2
故橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)E(a2,y2)D(a2,y1
當(dāng)m變化時(shí)首先AE過(guò)定點(diǎn)N
x=my+1
b2x2+a2y2-a2b2=0
即(a2+b2m2)y2+2mb2y+b2(1-a2)=0
△=4a2b2(a2+m2b2-1)>0(a>1)
KAN=
-y1
a2-1
2
-my1
      KEN=
-y2
1-a2
2

KAN-KEN=
a2-1
2
(y1+y2)-my1y2
1-a2
2
(
a2-1
2
-my1)

a2-1
2
(y1+y2)-my1y2=
a2-1
2
(-
2mb2
a2+m2b2
)
-m
b2(1-a2)
a2+m2b2
=
(a2-1)(mb2-mb2)
a2+m2b2
=0

∴kAN=KEN
∴A、N、E三點(diǎn)共線
∴故存在實(shí)數(shù)λ使得
AN
NE
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了圓錐曲線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,而定義的靈活應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵直線與曲線的相交的一般思路是聯(lián)立方程組,通過(guò)方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解,本題符號(hào)運(yùn)算,較繁,變形時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直線l:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的右焦點(diǎn)F,拋物線:x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、F、B在直線g:x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且
MA
=λ1
AF
,
MB
=λ2
BF
,當(dāng)m變化時(shí),探求λ12的值是否為定值?若是,求出λ12的值,否則,說(shuō)明理由;
(Ⅲ)連接AE、BD,試證明當(dāng)m變化時(shí),直線AE與BD相交于定點(diǎn)N(
5
2
,0)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直線l:x=my+4(m∈R)與x軸交于點(diǎn)P,交拋物線y2=2ax(a>0)于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O是PQ的中點(diǎn),記直線AQ,BQ的斜率分別為k1,k2
(Ⅰ)若P為拋物線的焦點(diǎn),求a的值,并確定拋物線的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系.
(Ⅱ)試證明:k1+k2為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直線L:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A,F(xiàn),B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D,K,E.
(1)若拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;
(2)連接AE,BD,證明:當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD相交于一定點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•樂(lè)山二模)如圖,已知直線L:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、F、B在直線G;x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、K、E,若拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線L交y軸于點(diǎn)M,
MA
1
AF
MB
2
BF
,當(dāng)M變化時(shí),求λ12的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直線L:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、E.
(1)若拋物線x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為橢圓C 的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;(2)(理科生做)連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N,請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;
否則說(shuō)明理由.
(文科生做)若N(
a2+1
2
,0)
為x軸上一點(diǎn),求證:
AN
NE

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案