Question

設(shè)max{sinx，cosx}表示sinx與cosx中的較大者．若函數(shù)f（x）=max{sinx，cosx}，給出下列五個結(jié)論：
①當且僅當x=2kπ+π（π∈Z）時，f（x）取得最小值；
②f（x）是周期函數(shù)；
③f（x）的值域是[-1，1]；
④當且僅當＜x＜2kx+

3π

2

（k∈Z）時，f（x）＜0；
⑤f（x）以直線x=kx+

π

4

（k∈Z）為對稱軸．
其中正確結(jié)論的序號為

②④⑤

．

Answer 1

分析：先作出函數(shù)在一個周期上的圖象，觀察函數(shù)的圖象得出相應的結(jié)論．
①觀察圖象的最低點，求出最小值．
②結(jié)合圖象觀察圖象的重復性，進而判斷周期性．
③利用函數(shù)的最大值與最小值，確定函數(shù)的值域．
④解不等式f（x）＜0，得對應的解集．
⑤觀察圖象，利用推理得出函數(shù)的對稱軸．

解答：
解：由定義可知，當sinx≥cosx時，解得
-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z
．當sinx＜cosx時，解得

π

4

+2kπ＜x＜

5π

4

+2kπ，k∈Z．
作出正弦函數(shù)y=sinx與y=cosx在一個周期上的圖象如下圖：取函數(shù)的最大值，即為函數(shù)f（x）=max{sinx，cosx}，
A．由圖象可知，當x=2kπ+

5π

4

（k∈Z）時，f（x）取得最小值，所以①錯誤．

②函數(shù)以2π為周期的周期函數(shù)，所以②正確．
③由①知函數(shù)的最小值為-

2

2

，所以f（x）的值域是[-

2

2

，1]，所以③錯誤．
④由f（x）＜0，解得2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），所以④正確．
⑤f（x）的對稱軸為x=2kπ+

5π

4

或x=2kπ+

π

4

，即x=kx+

π

4

（k∈Z），所以⑤正確．
正確結(jié)論的序號為②④⑤．
故答案為：②④⑤．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學生理解信息的能力，利用數(shù)學結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．