Question

已知數(shù)列滿足（為常數(shù)），成等差數(shù)列.

（Ⅰ）求p的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用成等差數(shù)列.可求p的值，再用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）通過作差判斷數(shù)列的單調(diào)性或利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

試題解析：（Ⅰ）由

得

∵成等差數(shù)列，

∴

即得               （2分）

依題意知，

當(dāng)時(shí)，

 

相加得

∴

∴                       （4分）

又適合上式，                      （5分）

故                          （6分）

（Ⅱ）證明：∵∴

∵        （8分）

若則

即當(dāng)時(shí)，有                   （10分）

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091900050760762430/SYS201309190006011540520583_DA.files/image025.png">                     （11分）

故                          （12分）

（Ⅱ）法二：要證

只要證                      （7分）

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，左邊=12，右邊=9，不等式成立；

當(dāng)時(shí)，左邊=36，右邊=36，不等式成立.          （8分）

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立.        （9分）

則當(dāng)時(shí)，左邊=4×3^k+1=3×4×3^k≥3×9k²，

要證3×9k²≥9（k+1）² ，

只要正3k²≥（k+1）² ，

即證2k²-2k-1≥0.                      （10分）

而當(dāng)k即且時(shí)，上述不等式成立.      （11分）

由①②可知，對(duì)任意，所證不等式成立.          （12分）

考點(diǎn)：1.等差中項(xiàng)；2.累加法求和；3.數(shù)列單調(diào)性；4.數(shù)學(xué)歸納法.