Question

8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P是平面A₁BC₁內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|PD|+|PB₁|=6，則點(diǎn)P的軌跡所形成的圖形的面積是（　�。�

• A． 2π
• B． $\frac{11π}{2}$
• C． $\frac{16π}{3}$
• D． $\frac{52π}{9}$

Answer 1

分析 由題意可知：B₁D⊥平面A₁BC₁，|PD|+|PB₁|=6＞丨B₁D丨=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)P在一個(gè)“橢球”上運(yùn)動(dòng)，且被垂直于其對(duì)稱軸的平面A₁BC₁截出一個(gè)圓，記其半徑為r，根據(jù)勾股定理即可求得半徑，求得圓的面積．

解答 解：連接B₁D，記B₁D與平面A₁BC₁交于點(diǎn)O，易證B₁D⊥平面A₁BC₁，丨OD丨=2丨OB₁丨=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．由|PD|+|PB₁|=6＞丨B₁D丨=2$\sqrt{3}$，
點(diǎn)P在一個(gè)“橢球”上運(yùn)動(dòng)，且被垂直于其對(duì)稱軸的平面A₁BC₁截出一個(gè)圓，記其半徑為r，記丨PD丨=a，
則$\left\{\begin{array}{l}{丨OD{丨}^{2}+{r}^{2}=丨PD{丨}^{2}={a}^{2}}\\{丨O{B}_{1}{丨}^{2}+{r}^{2}=丨P{B}_{1}{丨}^{2}=（6-a）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{10}{3}}\\{{r}^{2}=\frac{52}{9}}\end{array}\right.$，
所以點(diǎn)P的軌跡所形成的圖形的面積S=πr²=$\frac{52π}{9}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，考查勾股定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．