Question

已知數(shù)據(jù)x₁，x₂，x₃，…，x₁₀的平均數(shù)為6，標準差為，則數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x₅的平均數(shù)的取值范圍是________．

Answer 1

分析：法一：設x₁，x₂，…，x₅的平均數(shù)為a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均數(shù)為b，則b=12-a，利用條件：“數(shù)據(jù)x₁，x₂，x₃，…，x₁₀的平均數(shù)為6，標準差為，”得出關于a的不等關系，最后解一個二次不等式即可；
法二：（運用柯西不等式）設x₁，x₂，…，x₅的平均數(shù)為a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均數(shù)為b，則b=12-a，利用柯西不等式得出：x₁²+x₂²+…+x₁₀²≥5a²+5（12-a）²，解之即可．
解答：由（x₁-6）²+（x₂-6）²+…+（x₁₀-6）²=20，
得：x₁²+x₂²+…+x₁₀²-12（x₁+x₂+…+x₁₀）+360=20
即 x₁²+x₂²+…+x₁₀²=380
設x₁，x₂，…，x₅的平均數(shù)為a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均數(shù)為b，則b=12-a
結合方差定義 （x₁-a）²+（x₂-a）²+…+（x₅-a）²≥0
展開得：x₁²+x₂²+…+x₅²-2a（x₁+x₂+…+x₅）+5a²≥0
即 x₁²+x₂²+…+x₅²-2a•5a+5a²≥0，x₁²+x₂²+…+x₅²≥5a²，
同理x₆²+x₇²+…+x₁₀²≥5b²=5（12-a）²
得：x₁²+x₂²+…+x₁₀²≥5a²+5（12-a）²，即 380≥5a²+5（12-a）²a²-12a+34≤0得
另解：（運用柯西不等式）
設x₁，x₂，…，x₅的平均數(shù)為a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均數(shù)為b，則b=12-a
由 ，
得：x₁²+x₂²+…+x₁₀²≥5a²+5（12-a）²，即 380≥5a²+5（12-a）²a²-12a+34≤0得
點評：本小題主要考查極差、方差與標準差、柯西不等式、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．