Question

已知平面直角坐標系xOy，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosφ y=2+2sinφ

（φ為參數(shù)）．點A，B是曲線C上兩點，點A，B的極坐標分別為（ρ₁，

π

3

），（ρ₂，

5π

6

）．
（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程和極坐標方程；
（Ⅱ）求|AB|的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）消去參數(shù)φ，把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；
由公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

，把曲線C的普通方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）方法1：由A、B兩點的極坐標，得出∠AOB=

π

2

，判定AB為直徑，求出|AB|；
方法2：把A、B化為直角坐標的點的坐標，求出A、B兩點間距離|AB|．

解答：解：（Ⅰ）∵曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosφ y=2+2sinφ

，（φ為參數(shù)），
消去參數(shù)φ，化為普通方程是x²+（y-2）²=4；
由

x=ρcosθ y=ρsinθ

，（θ為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程x²+（y-2）²=4可化為
極坐標ρ=4sinθ，（θ為參數(shù)）；
（Ⅱ）方法1：由A(ρ1，

π

3

)，B(ρ2，

5π

6

)是圓C上的兩點，
且知∠AOB=

π

2

，
∴AB為直徑，
∴|AB|=4；
方法2：由兩點A（ρ₁，

π

3

），B（ρ₂，

5π

6

），
化為直角坐標中點的坐標是A（

3

，3），B（-

3

，1），
∴A、B兩點間距離為|AB|=4．

點評：本題考查了參數(shù)方程與極坐標的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)熟練地應(yīng)用參數(shù)方程、極坐標與普通方程的互化公式，是基礎(chǔ)題．