Question

已知圓C以（3，-1）為圓心，5為半徑，過點(diǎn)S（0，4）作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若AB=8，求直線l的方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率為-2時(shí)，在l上求一點(diǎn)P，使P到圓C的切線長(zhǎng)等于PS；
（3）設(shè)AB的中點(diǎn)為N，試在平面上找一定點(diǎn)M，使MN的長(zhǎng)為定值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=0符合條件； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，再由圓心距的平方與弦長(zhǎng)一半的平方等于半徑的平方求得圓心距，最后由點(diǎn)到直線的距離公式求得l的方程．
（2）當(dāng)l斜率為-2時(shí)，直線l方程為y=-2x+4，有x²+（y-4）²=（x-3）²+（y+1）²-25，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半可得．

解答：解：（1）圓的方程是（1分）
由條件可知：圓心C到直線l的距離為3．（3分）
當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=0符合條件； （4分）
當(dāng)斜率存在時(shí)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得l的方程為8x+15y-60=0．
∴直線l方程是8x+15y-60=0或x=0．（6分）
（2）當(dāng)l斜率為-2時(shí)，直線l方程為y=-2x+4，
根據(jù)題意，有x²+（y-4）²=（x-3）²+（y+1）²-25，（10分）
解之得x=

9

26

，y=

43

13

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

9

26

，

43

13

)．（12分）
（3）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半有：
定點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

3

2

，

3

2

)，（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的方程的應(yīng)用，主要涉及了直線與圓相交時(shí)圓心距，半弦長(zhǎng)與半徑的關(guān)系，切線及直角三角形的相關(guān)性質(zhì)．