如圖，拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上，準線與圓相切．

（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知直線和拋物線交于點，命題P：“若直線過定點，則”，請判斷命題P的真假，并證明。

（Ⅰ）  （Ⅱ）命題P為真命題

解析試題分析：（Ⅰ）依題意，可設(shè)拋物線的方程為，
其準線的方程為.           
∵準線與圓相切，
∴所以圓心到直線的距離，解得.
故拋物線的方程為:． 
（Ⅱ）命題P為真命題
因為直線和拋物線交于點且過定點，所以直線的斜率一定存在
設(shè)直線，交點聯(lián)立拋物線的方程，
得 恒成立           
由韋達定理得        

，所以命題P為真命題 
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；恒過定點的直線；拋物線的標準方程．
點評：本題考查了拋物線方程的求法，以及直線與拋物線的位置關(guān)系判斷，做題時要認真分析，避免不必要的錯誤．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，直線截拋物線C所得弦長為.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知是拋物線上異于原點的兩個動點，記若試求當取得最小值時的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：()過點，其左、右焦點分別為，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)若是直線上的兩個動點，且，則以為直徑的圓是否過定點？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點、, 是一個動點, 且直線、的斜率之積為.
(1) 求動點的軌跡的方程;
(2) 設(shè), 過點的直線交于、兩點, 若對滿足條件的任意直線, 不等式恒成立, 求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線的參數(shù)方程為，曲線的極坐標方程為．
（Ⅰ）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）判斷曲線與曲線的交點個數(shù)，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知平面內(nèi)一動點到點的距離與點到軸的距離的差等于1．（I）求動點的軌跡的方程；（II）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點，與軌跡相交于點，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線的準線與軸交于，焦點為，若橢圓以、為焦點、且離心率為．                   
（1）當時,求橢圓的方程；
（2）若拋物線與直線及軸所圍成的圖形的面積為，求拋物線和直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：()過點，其左、右焦點分別為，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)若是直線上的兩個動點，且，則以為直徑的圓是否過定點？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知直線過定點，動點滿足，動點的軌跡為.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）直線與交于兩點，以為切點分別作的切線，兩切線交于點.
①求證：；②若直線與交于兩點，求四邊形面積的最大值.

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