過M(2,1)的直線l分別交x軸正方向及直線y=3x(位于第一象限部分)于A、B,求使S△AOB最小的直線l的方程.
考點:直線的一般式方程
專題:直線與圓
分析:寫出直線l的方程為:y-1=k(x-2),求出直線在x軸上的截距,和直線y=3x聯(lián)立求出交點的縱坐標,由面積公式得到三角形的面積,利用判別式法求出三角形面積的最小值,進一步求出直線的斜率,則直線方程可求.
解答: 解:由題意得直線l的方程為:y-1=k(x-2),
取y=0,得|OA|=|
2k-1
k
|,
聯(lián)立
y=3x
y-1=k(x-2)
,解得yB=
3-6k
3-k

∴S△AOB=
1
2
|OA||yB|=
1
2
|
2k-1
k
||
3-6k
3-k
|

=|
-12k2+12k-3
-2k2+6k
|

t=
-12k2+12k-3
-2k2+6k
,
則(12-2t)k2+(6t-12)k+3=0,
由△=(6t-12)2-12(12-2t)≥0,得
解得t≤0或t≥
10
3

∴S△AOB最小值為
10
3

此時k=-
3
4

∴l(xiāng):3x+4y-10=0;
當直線l的斜率不存在時,直線方程為x=2,代入y=3x得交點縱坐標為6,
此時S△AOB=
1
2
×2×6=6>
10
3
,不合題意.
故使S△AOB最小的直線l的方程為3x+4y-10=0.
點評:本題考查了直線的一般式方程,考查了利用判別式法求函數(shù)的最值,是中檔題.
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1
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(2k+1)x-k
x-1

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