Question

已知函數(shù)

（1）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若在處取得極值，且時，恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）利用“若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間恒成立”求解；

（2）先根據(jù)在處取得極值求得值，再將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求，解關(guān)于的不等式即可.

規(guī)律總結(jié)：若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間恒成立；“若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間恒成立；求函數(shù)最值的步驟：① 求導(dǎo)函數(shù)；②求極值；③比較極值與端點值，得出最值.

試題解析:（1）

因在上是增函數(shù)，則f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，

∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．

設(shè)g(x)＝x－3x2，當(dāng)x＝時，g(x)max＝，∴b≥.

（2）由題意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.

x∈[－1,2]時，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可

因f′(x)＝3x2－x－2，

令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.

∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，

∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，

∴2＋c＜c2，解得c＞2，或c＜－1，

所以c的取值范圍為(－∞，－1)∪(2，＋∞).

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)的極值、最值；3.不等式恒成立問題.