如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，，BC=1，，PD=CD=2.

（I）求異面直線PA與BC所成角的正切值；

（II）證明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。

【考點定位】本小題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.，考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.

 

【答案】

（I）2   (2)見解析    （3）

【解析】（I）解：如圖，在四棱錐P-ABCD中，因為底面ABCD是矩形，所以AD=BC且AD∥BC，又因為,故為異面直線PA與BC所成的角.在中，

所以，異面直線PA與BC所成的角的正切值為2.

（II）證明：由于底面ABCD為矩形，故，又由于，，因此而.所以.

（III）解：在平面PDC中，過點P作交直線CD于點E，連接EB.

由于，而直線CD是平面PDC與平面ABCD所成的角.

在中，由于PD=CD=2，，可得.

在中，

由AD∥BC，，得，因此.

在中，

在中，

所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為

 

練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大�。�

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（2）求AE的長；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E為PB中點
（1）求證；平面ACE⊥面ABCD；
（2）求三棱錐P-EDC的體積．

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（2008•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
（1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
（2）求A到面PCD的距離．

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