Question

F₁、F₂分別為雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的左、右焦點(diǎn)，直線l過F₁與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，△ABF₂面積的最小值為

15

．

Answer 1

分析：確定雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出AB的方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示出△ABF₂面積，再利用導(dǎo)數(shù)知識，即可求得△ABF₂面積的最小值

解答：解：由題意F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）
設(shè)AB的方程為x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
AB的方程代入雙曲線方程，整理可得（5m²-4）y²-30my+25=0
∴y₁+y₂=

30m

5m2-4

，y₁y₂=

25

5m2-4

∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

20 m2+1

|5m2-4|

∵直線l過F₁與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，∴y₁y₂＜0，∴5m²-4＜0
∴|y₁-y₂|=

20 m2+1

-5m2+4

∴△ABF₂面積為

1

2

×|F₁F₂|×|y₁-y₂|=

60 m2+1

-5m2+4

令

m2+1

=t，則m2=t2-1(

3 5

5

＞t≥1)，∴

60 m2+1

-5m2+4

=

60t

-5t2+9

=

60

-5t+ 9 t

令y=-5t+

9

t

，則y′=-5-

9

t2

＜0，∴y=-5t+

9

t

在[1，

3 5

5

）上單調(diào)遞減，∴0＜y≤4
∴

60

-5t+ 9 t

≥15，即△ABF₂面積的最小值為15
故答案為：15．

點(diǎn)評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，聯(lián)立方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理，進(jìn)而表示三角形的面積是關(guān)鍵．