Question

已知對稱中心為坐標(biāo)原點的橢圓與拋物線有一個相同的焦點，直線與拋物線只有一個公共點.
（1）求直線l的方程；
（2）若橢圓經(jīng)過直線l上的點P，當(dāng)橢圓的長軸長取得最小值時，求橢圓的方程及點P的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）解法一：由，消去y得。   
∵直線l與拋物線只有一個公共點   
∴解得m=-4
∴直線l的方程為y=2x-4
解法二：設(shè)直線l與拋物線的公共點坐標(biāo)為
由得
∴直線的斜率
依題意得解得，
把代入拋物線的方程得
∵點在直線l上，
∴解得
∴直線l的方程為；
（2）解法一：拋物線的焦點為
依題意知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)為，
設(shè)橢圓的方程為，
 由消去y，得  
由
得，解得，∴，   
∴當(dāng)a=2時橢圓的長軸長取得最小值其值為4
此時橢圓的方程為，把a=2代入方程得，從而
∴點P的坐標(biāo)為
解法二：∵拋物線的焦點為
 依題意知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)為，    
設(shè)點關(guān)于直線l的對稱點為，
則
 解得，
∴點
∴直線與直線的交點為
 由橢圓定義及平面幾何知識得    橢圓的長軸長，
其中當(dāng)點重合時，上面不等式取等號。 
∴當(dāng)a=2時橢圓的長軸長取得最小值其值為4，
此時橢圓方程為，
點P的坐標(biāo)為。