Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x³-ax²-3x+1
（1）當(dāng)a=1時，y=f（x）在x=1處切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．
（2）若y=f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，然后求出三角形的面積即可．
（2）要使函數(shù)在（-1，1）上為減函數(shù)．則f'（x）≤0恒成立．

解答：解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=2x²-2ax-3，當(dāng)a=1時，f'（x）=2x²-2x-3，
所以當(dāng)x=1時，f'（1）=2-2-3=-3，f（1）=-

7

3

，
所以y=f（x）在x=1處切線方程為y+

7

3

=-3(x-1)，即9x+3y-2=0．
當(dāng)x=0時，y=

2

3

．
當(dāng)y=0時，x=

2

9

，
所以三角形的面積為

1

2

×

2

3

×

2

9

=

2

27

．
（2）要使函數(shù)在（-1，1）上為減函數(shù)．則f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=2x²-2ax-3≤0，即

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

，即

2a-1≤0 -2a-1≤0

，
解得-

1

2

≤a≤

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，比較綜合．