Question

22.如圖，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線（p>0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB.求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

Answer 1

22.本小題主要考查直線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)，考查由動(dòng)點(diǎn)求軌跡方程的基本方法以及方程化簡的基本技能

解：如圖，點(diǎn)A，B在拋物線y²=4px上，

設(shè)A（），B（），OA、OB的斜率分別為k_OA、k_OB.

 

k_OA=，k_OB＝.　　　　　　　           　　　　　　　　　　　　　　

 

由OA⊥OB，得k_OA·k_OB＝，         ①　      

 

依點(diǎn)A在AB上，得直線AB方程

.           　　 ②     

由OM⊥AB，得直線OM方程　y=.    ③　 　　

設(shè)點(diǎn)M（x，y），則x，y滿足②③兩式，將②式兩邊同時(shí)乘以，并利用③式整理得

.            　　　 ④　　

由③④兩式得　，

由①式知，，

∴.

因?yàn)?I >A、B是原點(diǎn)以外的兩點(diǎn)，所以x≠0.所以點(diǎn)M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).