Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（Ⅱ）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；
（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先假設相遇時小艇的航行距離為S，根據(jù)余弦定理可得到關系式S=整理后運用二次函數(shù)的性質(zhì)可確定答案．
（2）先假設小艇與輪船在某處相遇，根據(jù)余弦定理可得到（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°），再由t的范圍可求得v的最小值．
（3）根據(jù)（2）中v與t的關系式，設然后代入關系式整理成400u²-600u+900-v²=0，將問題等價于方程有兩個不等正根的問題，進而得解．
解答：解：（1）設相遇時小艇的航行距離為S海里，則
S=
==
故當t=時，，v=
即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最�。�
（2）設小艇與輪船在某處相遇
由題意可得：（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°）
化簡得：=400
由于0＜t，即
所以當時，v取得最小值10
即小艇航行速度的最小值為10海里/小時
（3）由（2）知：，設（u＞0）
于是400u²-600u+900-v²=0①
小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方程①應有兩個不等正根，即
，解得15＜v＜30
所以，v 的取值范圍是（15，30）
點評：本題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎知識，考查推理論證能力，抽象概括能力、運算求解能力、應用意識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．