Question

15．已知a＞0，b＞0，且$\sqrt{a}+\sqrt=1$．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值；
（Ⅱ）求a²b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由基本不等式可得$1=\sqrt{a}+\sqrt≥2{（ab）^{\frac{1}{4}}}$，進(jìn)而可得ab的最大值，由基本不等式分析可得$\frac{1}{a}+\frac{1}$≥$\frac{2}{\sqrt{ab}}$，即可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，將$\sqrt{a}+\sqrt=1$變形可得1=$\sqrt{a}$+$\sqrt$=$\frac{\sqrt{a}}{2}$+$\frac{\sqrt{a}}{2}$+$\sqrt$，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$1=\sqrt{a}+\sqrt≥2{（ab）^{\frac{1}{4}}}$，可得$ab≤\frac{1}{16}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}≥\frac{2}{{\sqrt{ab}}}≥\frac{2}{{\sqrt{\frac{1}{16}}}}=8$，
當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{4}$時(shí)等號(hào)成立，因此$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為8．
（Ⅱ）因?yàn)?1=\sqrt{a}+\sqrt=\frac{{\sqrt{a}}}{2}+\frac{{\sqrt{a}}}{2}+\sqrt≥3•\root{3}{{\frac{{\sqrt{a}}}{2}•\frac{{\sqrt{a}}}{2}•\sqrt}}=3•\root{3}{{\frac{{a{b^{\frac{1}{2}}}}}{4}}}$，
即3•$\root{3}{\frac{a^{\frac{1}{2}}}{4}}$≤1，
變形可得${a^2}b≤\frac{16}{729}$，即a²b的最大值為$\frac{16}{729}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{\sqrt{a}}}{2}=\sqrt$，即$a=\frac{4}{9}$且$b=\frac{1}{9}$時(shí)，等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式成立的條件．