Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程；（2）.

【解析】

（1）由圖象變換得到曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可．由直線的極坐標(biāo)方程并結(jié)合互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程．（2）設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)可得最大值．

（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

根據(jù)圖象變換可得曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

消去方程中的可得普通方程為，

將代入上式得．

所以曲線的極坐標(biāo)方程．

直線的極坐標(biāo)方程為，即，

將代入上式，得，

所以直線的直角坐標(biāo)方程為．

（2）設(shè) 為曲線上的任意一點(diǎn)，

則點(diǎn)到直線的距離 ，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，

∴點(diǎn)到直線的距離的最大值為．