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已知數列{an}的前項n和為Sn,a1=1,Sn與-3Sn+1的等差中項是-
3
2
(n∈N*)

(1)證明數列{Sn-
3
2
}為等比數列;
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)若對任意正整數n,不等式k≤Sn恒成立,求實數k的最大值.
分析:(1)由Sn與-3Sn+1的等差中項是-
3
2
,可得Sn-3Sn+1=-3,即Sn+1=
1
3
Sn+1,進而可得
Sn+1-
3
2
Sn-
3
2
=
1
3
,從而得到數列{Sn-
3
2
}為等比數列;
(2)由(1)中結合可得Sn=
3
2
-
1
2
×(
1
3
n-1,根據n≥2時,an=Sn-Sn-1,n=1時,an=Sn,可求出數列{an}的通項公式;
(3)根據對數函數的圖象和性質可得Sn=
3
2
-
1
2
×(
1
3
n-1是單調遞增數列,若不等式k≤Sn恒成立,僅須k≤Sn的最小值S1即可.
解答:解:(1)因為Sn與-3Sn+1的等差中項是-
3
2

所以Sn-3Sn+1=-3,即Sn+1=
1
3
Sn+1,…(2分)
由此得Sn+1-
3
2
=
1
3
(Sn-
3
2
),…(3分)
Sn+1-
3
2
Sn-
3
2
=
1
3
,…(4分)
又∵S1-
3
2
=a1-
3
2
=-
1
2
,
所以數列{Sn-
3
2
}是以-
1
2
為首項,
1
3
為公比的等比數列.…(5分)
(2)由(1)得Sn-
3
2
=-
1
2
×(
1
3
n-1,即Sn=
3
2
-
1
2
×(
1
3
n-1,…(6分)
所以,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=[
3
2
-
1
2
×(
1
3
n-1]-[
3
2
-
1
2
×(
1
3
n-2]=
1
3n-1
…(8分)
又n=a時,a1=1也適合上式,
所以an=
1
3n-1
.…(9分)
(3)要使不等式k≤Sn對任意正整數n恒成立,即k小于或等于Sn的所有值.
又因為Sn=
3
2
-
1
2
×(
1
3
n-1是單調遞增數列,…(10分)
且當n=1時,Sn取得最小值1,…(11分)
要使k小于或等于Sn的所有值,即k≤1,…(13分)
所以實數k的最大值為.…(14分)
點評:本題考查的知識點是等比數列的確定,數列的通項公式,恒成立問題,數列的單調性,是數列問題的綜合應用,難度較大.
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