Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=2，A=$\frac{π}{3}$．
（1）當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（B-C）=sin2B時(shí)，求△ABC的面積；
（2）求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（B-C）=sin2B，
從而求出△ABC的面積；
（2）設(shè)出△ABC的外接圓半徑R，利用正弦定理寫(xiě)出△ABC的周長(zhǎng)l，
根據(jù)三角恒等變換和角的取值范圍求出△ABC周長(zhǎng)l的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，且$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（B-C）=sin2B，
∴sinA-sin（B-C）=sin2B，
∴sin（B+C）-sin（B-C）=sin2B，
∴2cosBsinC=2sinBcosB；
①當(dāng)cosB=0時(shí)，B=$\frac{π}{2}$，c=$\frac{a}{tanA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴△ABC的面積為
S=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②當(dāng)cosB≠0時(shí)，2sinC=2sinB，
∴B=C=A=$\frac{π}{3}$，
∴a=b=c=2，
∴△ABC的面積為
S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；
綜上，△ABC的面積為S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，
由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC的周長(zhǎng)為
l=a+b+c=2+2RsinB+2RsinC
=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）；
∵A=$\frac{π}{3}$，∴B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$-B，∴B∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴l(xiāng)=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）]
=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）
=2+4sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴△ABC周長(zhǎng)l的最大值為
l_max=2+4×1=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換與正弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角形面積與周長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．