Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若點(diǎn)P為△BCD的重心，則D₁P與平面ADD₁A₁所成角的大小為________．

Answer 1

arctan
分析：過P作PE⊥AD交AD于E點(diǎn)，則∠ED₁P為D₁P與平面ADD₁A₁所成角，設(shè)立方體棱長(zhǎng)為3，則有ED=1，PE=2，從而可得D₁E=，在△ED₁P中，利用正切函數(shù)，可求D₁P與平面ADD₁A₁所成角．
解答：解：過P作PE⊥AD交AD于E點(diǎn)，
因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ADD₁A₁，所以直線PE⊥平面ADD₁A₁，所以∠ED₁P為D₁P與平面ADD₁A₁所成角；
因?yàn)镻為三角形BCD的重心，則P分B到CD中點(diǎn)的連線為2：1
因?yàn)镻E⊥AD，CD⊥AD，所以PE∥CD，所以E點(diǎn)分AD長(zhǎng)度為2：1，即AE=2ED
延長(zhǎng)EP交BC于F，記BD于PE的交點(diǎn)為G
因?yàn)镋F∥CD，且BP為中線，所以有FP=PG=CD．
設(shè)立方體棱長(zhǎng)為3，則有ED=1，PE=2，∴D₁E=
在△ED₁P中，tan∠ED₁P===
∴D₁P與平面ADD₁A₁所成角的大小為arctan
故答案為：arctan
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確作出線面角，屬于中檔題．