Question

已知點P在圓x²+y²=1上運動，DP⊥y軸，垂足為D，點M在線段DP上，且

|DM|

|DP|

=

2

2

（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）直線l與y軸交于點Q（0，m）（m≠0），與點M的軌跡交于相異的兩點A，B，且

AQ

=λ

QB

，若

OA

+λ

OB

=4

OQ

．求m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用代入法，根據(jù)點P在圓x²+y²=1上運動，即可求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）把y=kx+m代入y²+2x²=1得（k²+2）x²+2kmx+m²-1=0，利用韋達定理，結(jié)合

AQ

=λ

QB

，

OA

+λ

OB

=4

OQ

，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），
則

x x0 = 2 2 y=y0

得x₀=

2

x，y₀=y，
又∵P（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上
∴y²+2x²=1
∴點M的軌跡方程為y²+2x²=1                 …（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l與點M的軌跡交于相異的兩點A（x₁，y₁，B（x₂，y₂）．
把y=kx+m代入y²+2x²=1得（k²+2）x²+2kmx+m²-1=0，
∴△=4（k²-2m²+2）＞0         …（6分）
x₁+x₂=

-2km

k2+2

①，x₁?x₂=

m2-1

k2+2

②
∵

AQ

=λ

QB

，∴

OA

+λ

OB

=（1+λ）

OQ

，
又

OA

+λ

OB

=4

OQ

．∴λ=3，即

AQ

=3

QB

，
∴x₁=-3x₂③，…（8分）
由①②③得4k²m²+2m²-k²-2=0             …（10分）
當(dāng)m²=

1

4

時，4k²m²+2m²-k²-2=-

3

2

＜0，不合題意
當(dāng)m²≠

1

4

時，k²=

2-2m2

4m2-1

，
由△=4（k²-2m²+2）＞0得k²＞2m²-2，∴

2-2m2

4m2-1

＞2m²-2，解得m∈（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）
∴m的取值范圍為（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）…（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強．