Question

設(shè)x=1和x=2是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1在x=1和x=2時(shí)取極值，說(shuō)明方程f′（x）=0的兩個(gè)根為1和2，求出a與b；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（Ⅰ）∵三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1在x=1和x=2時(shí)取極值，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴

f′(1)=0  f′(2)=0

可得

3+2a+b=0 3•22+4a+b=0

解得

a=- 9 2 b=6

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=3x²+2ax+b=3（x-1）（x-2），
若f′（x）＞0即x＞2或x＜1，f（x）為增函數(shù)，
若f′（x）＜0即1＜x＜2，f（x）為減函數(shù)，
因此f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及掌握不等式的解法．這是高考必考的考點(diǎn)．