Question

定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)y=f（x），若對任意的x₁、x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則稱函數(shù)y=f（x）為“媽祖函數(shù)”，否則稱“非媽祖函數(shù)”．試問函數(shù)f（x）=x³-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否為“媽祖函數(shù)”？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：解：根據(jù)|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（x）_max-f（x）_min|，我們只要求得函數(shù)的最大值和最小值，看差的絕對值是否小于1即可，因為函數(shù)f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是高次函數(shù)，所以用導(dǎo)數(shù)法來求其最大值和最小值即可．

解答：解：因為|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|，
函數(shù)f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]導(dǎo)數(shù)是f′（x）=3x²-1
當(dāng)3x²-1=0時，即x=±

3

3

，當(dāng)0＜x＜

3

3

時，f′（x）=3x²-1＜0，當(dāng)x＞

3

3

時，
f′（x）=3x²-1＞0，故f（x）在x∈[0，1]內(nèi)的極小值是a-

2 3

9

，同理，
f（x）在[-1，0]內(nèi)的極大值是a+

2 3

9

，因為f（1）=f（-1）=a，
所以函數(shù)f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]的最大值是a+

2 3

9

，最小值是a-

2 3

9

，
故|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|=

4 3

9

＜1
所以函數(shù)f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是“媽祖函數(shù)”．（2分）

點評：本題是一道新定義題，要理清定義的條件和結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為已知的去解決，主要涉及了恒成立問題，函數(shù)的最值求法等．