Question

已知雙曲線的一條漸近線方程是x-2y=0，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(2

5

，1)，此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程是x±2y=0，因此設(shè)雙曲線方程為x²-4y²=λ（λ≠0），代入M的坐標(biāo)求出λ=16，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：∵雙曲線的一條漸近線方程是x-2y=0，
∴雙曲線的另一條漸近線方程是x+2y=0．
因此，設(shè)雙曲線方程為（x+2y）（x-2y）=λ（λ≠0），
即x²-4y²=λ（λ≠0）．
∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(2

5

，1)，
∴λ=(2

5

)2-4•12=16，
可得雙曲線的方程為x²-4y²=16．
化成標(biāo)準(zhǔn)方程得：

x2

16

-

y2

4

=1．
故答案為：

x2

16

-

y2

4

=1

點(diǎn)評(píng)：本題已知雙曲線滿足的條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查了有共同漸近線的雙曲線方程的設(shè)法，屬于基礎(chǔ)題．