Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，過(guò)OA的中點(diǎn)G作弦CE⊥AB于G，點(diǎn)D為優(yōu)弧CBE上（除點(diǎn)B外）一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D分別作直線CD，ED交直線AB于點(diǎn)F，M．
（I）求∠FDM的值．
（II）若⊙O的直徑長(zhǎng)為4，M為OB的中點(diǎn)，求△CED的面積．

Answer 1

分析：（I）欲求∠FDM的值，由于此角不在圓內(nèi)且與題設(shè)中條件聯(lián)系不密切，故可將求此角的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求其補(bǔ)角角CDE的大小，由題設(shè)條件知G是半徑的中點(diǎn)，由可在三角形COE中求出角EOC的大小，再由圓周角與圓心角的關(guān)系可以求得角CDE的大小，故可求得∠FDM的值．
（II）在三角形CDE中，角CDE已知，CE長(zhǎng)度已知，在直角三角形EGM中可以求得角E的正弦，由此由正弦定理可以求出CD的長(zhǎng)，再由正弦的和角公式求出角C的正弦，利用S=

1

2

×CE×CD×sinC，求其面積即可．

解答：解：（I）由題設(shè)條件過(guò)OA的中點(diǎn)G作弦CE⊥AB于G，連接OC，OE，
知OG=

1

2

OE=

1

2

OC，故可得∠OCG=∠OEG=30°，所以∠COE=120°，
∠CDM=60°，由圖知∠FDM=120°，
（II）由題設(shè)⊙O的直徑長(zhǎng)為4，M為OB的中點(diǎn)
故GM=2，OG=1，
在直角三角形OGE中，由勾股定理可以求得GE=

3

，故EC=2

3

故可在直角三角形MGE中求得EM=

7

由此得sinE=

2 7

7

，cosE=

21

7

又∠CDE=60°
故sinC=sin（E+60⁰）=

2 7

7

×

1

2

+

21

7

×

3

2

=

5 7

14

由正弦定理得CD=

2 3

3 2

×

2 7

7

=

8 7

7

DE=

2 3

3 2

×

5 7

14

=

10 7

7

故△CED的面積為

1

2

×

8 7

7

×

10 7

7

× 

3

2

=

20 3

7

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是與圓有關(guān)的比例線段，考查圓周角與圓心角的關(guān)系，以及利用兩角和與差的正弦公式求角的正弦，用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式求面積，本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，第二小題求解中綜合利用解三角形的知識(shí)求面積，運(yùn)算較繁，難度較大，做題時(shí)要用心體會(huì)本題轉(zhuǎn)化的脈絡(luò)．