Question

已知雙曲線E的中心為原點，P（3，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12，-15），則E的方程式為    ．

Answer 1

【答案】分析：利用點差法求出直線AB的斜率，再根據(jù)P（3，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12，-15），可建立方程組，從而可求雙曲線的方程．
解答：解：由題意，不妨設(shè)雙曲線的方程為
∵P（3，0）是E的焦點，∴c=3，∴a²+b²=9．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則有：①；②
由①-②得：=
∵AB的中點為N（-12，-15），
∴
又AB的斜率是
∴，即4b²=5a²
將4b²=5a²代入a²+b²=9，可得a²=4，b²=5
∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是
故答案為：
點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點差法解決弦的中點問題，考查學(xué)生的計算能力，解題的關(guān)鍵是利用點差法求出直線AB的斜率．