Question

已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，圓與直線相切.

（1）設(shè)為圓上的一個動點(diǎn)，若點(diǎn)，，求的最小值；

（2）過點(diǎn)作兩條相異直線分別與圓相交于，且直線和直線的傾斜角互補(bǔ)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線和是否平行？請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）-4；（2）直線和一定平行.

【解析】

試題分析：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的點(diǎn)乘、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用兩個點(diǎn)關(guān)于直線對稱，列出方程組，解出，即得到圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離求半徑，寫出圓的方程，利用向量的點(diǎn)乘列出式子，數(shù)形結(jié)合找出最小值；第二問，利用直線與圓的位置關(guān)系列出方程，得出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用斜率公式寫出式子，判斷兩個斜率是否相等.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)圓心，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，                 1分

∵圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

∴，解得，                        3分

∴圓心到直線的距離，                  4分

∴求圓的方程為．                                        5分

設(shè)，則，

∴，                   6分

作直線：，向下平移此直線，當(dāng)與圓相切時取得最小值，這時切點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以·的最小值為－4．                                  8分

（Ⅱ）由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)：，

：，由，得．

因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是該方程的解，故可得，同理，，

則．

所以，直線和一定平行．                                      14分

考點(diǎn)：1.中點(diǎn)坐標(biāo)公式；2.點(diǎn)到直線的距離；3.向量的點(diǎn)乘；4.斜率的公式；5.直線與圓的位置關(guān)系.