Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

＞

9

10

（n＞1，且n∈N^*）．

Answer 1

分析：先證明n=2時(shí)，結(jié)論成立；假設(shè)n=k（k＞1，且k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，利用歸納假設(shè)，證明n=k+1時(shí)結(jié)論成立．

解答：證明：（1）n=2時(shí)，左邊=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

57

60

＞

9

10

，不等式成立；
（2）假設(shè)n=k（k＞1，且k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

＞

9

10

則n=k+1時(shí)，左邊=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

-

1

k+1

＞

9

10

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

-

1

k+1

=

9

10

+

2

(3k+1)(3k+3)

+

1

(3k+2)(3k+3)

＞

9

10

即n=k+1時(shí)結(jié)論成立
綜上，

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

＞

9

10

（n＞1，且n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查不等式的證明，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．