已知數(shù)列{an}前n項和Sn=n2+2n,設(shè)bn=
1anan+1

(1)試求an
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn
分析:(1)當n=1時,可得a1=S1=3,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1,驗證可得通項;(2)由(1)可得bn=
1
anan+1
=
1
2
1
2n+1
-
1
2n+3
),裂項相消可得所求.
解答:解:(1)當n=1時,可得a1=S1=3
當n≥2時,an=Sn-Sn-1
=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1,
經(jīng)驗證,n=1時,上式也適合,
故an=2n+1;
(2)由(1)可知an=2n+1,
故bn=
1
anan+1
=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
1
2n+1
-
1
2n+3

故數(shù)列{bn}的前n項和:
Tn=
1
2
[(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n+1
-
1
2n+3
)]
=
1
2
1
3
-
1
2n+3
)=
n
6n+9
點評:本題考查由Sn求an的方法,以及裂項相消法求數(shù)列的和,屬中檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}前 n項和為Sn,且Sn=n2,
(1)求{an}的通項公式    
(2)設(shè) bn=
1anan+1
,求數(shù)列{bn}的前 n項 和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}前n項和Sn和通項an滿足Sn=-
1
2
(an-1)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式; 
(2)試證明Sn
1
2
;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=log
1
3
x
,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),求
1
b1
+
1
b2
+…+
1
b99
的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}前n項和Sn=2n-1,則數(shù)列{an}的奇數(shù)項的前n項的和是
4n-1
3
4n-1
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}前n項和Sn=2an+2n,
(Ⅰ)證明數(shù)列{
an
2n-1
}
是等差數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(Ⅱ)若bn=
(n-2011)an
n+1
,求數(shù)列{bn}是否存在最大值項,若存在,說明是第幾項,若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)設(shè)Tn=|S1|+|S2|+|S3|+…+|Sn|,試比較
Tn+Sn
2
2-n
1+n
an
的大。

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