Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，（a_n+1-2）（a_n-2）=2（n∈N^*），則該數(shù)列的前2014項的和是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導出

an+1-2

an-1-2

=1，從而得到數(shù)列{a_n}是一個周期為2的周期數(shù)列，由此能求出S₂₀₁₄．

解答： 解：在數(shù)列{a_n}中，∵a₁=3，（a_n+1-2）（a_n-2）=2（n∈N^*），
∴（a_n-2）（a_n-1-2）=2，n∈N^*，n≥2，
以上兩式相除，得

an+1-2

an-1-2

=1，
∴a_n+1-2=a_n-1-2，n∈N^*，n≥2，
∴數(shù)列{a_n}是一個周期為2的周期數(shù)列，
∵a2-2=

2

a1-2

，a₁=3，∴a₂=4，
∴S₂₀₁₄=1007×（a₁+a₂）=1007×（3+4）=7049．
故答案為：7049．

點評：本題考查數(shù)列的前2014項的和的求法，是中檔題，解題時要關鍵是判斷出數(shù)列{a_n}是一個周期為2的周期數(shù)列．